যদি x>0, y>0 এবং x/1>1/y হয়, তবে x এবং y এর মধ্যে কি সম্পর্ক ?

Created: 7 years ago | Updated: 7 months ago

Updated: 7 months ago

ক

x>y
খ

x
গ

x=y
ঘ

কোনটিই নয়

ব্যাখ্যাঃ

প্রদত্ত শর্তগুলো হলো:

$x > 0$
$y > 0$
$x/1 > 1/y$

তৃতীয় শর্তটি সরল করে পাই:

$x > 1/y$

যেহেতু $y > 0$ (ধনাত্মক), আমরা অসমতার উভয় পক্ষকে $y$ দিয়ে গুণ করতে পারি এবং অসমতার চিহ্ন পরিবর্তন হবে না:

$x \cdot y > (1/y) \cdot y$

$xy > 1$

এখন, $x$ এবং $y$ এর মধ্যে সম্পর্কটি হলো $xy > 1$। প্রদত্ত অপশনগুলোর সাথে এই সম্পর্কটি বিশ্লেষণ করি:

অপশন 1: $x > y$
এই সম্পর্কটি সবসময় সঠিক নাও হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ:
- যদি $x = 3$ এবং $y = 0.5$ হয়। এখানে $x > y$ এবং $xy = 3 \times 0.5 = 1.5$, যা $1$ এর চেয়ে বড়। এই ক্ষেত্রে শর্তটি পূরণ হয়।
- কিন্তু যদি $x = 0.5$ এবং $y = 0.1$ হয়। এখানেও $x > y$, কিন্তু $xy = 0.5 \times 0.1 = 0.05$, যা $1$ এর চেয়ে বড় নয়। এই ক্ষেত্রে শর্তটি পূরণ হয় না।
সুতরাং, $x > y$ সম্পর্কটি সবসময় সঠিক নয়।
অপশন 2: $x < y$
এই সম্পর্কটিও সবসময় সঠিক নাও হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ:
- যদি $x = 0.5$ এবং $y = 3$ হয়। এখানে $x < y$ এবং $xy = 0.5 \times 3 = 1.5$, যা $1$ এর চেয়ে বড়। এই ক্ষেত্রে শর্তটি পূরণ হয়।
- কিন্তু যদি $x = 0.1$ এবং $y = 0.5$ হয়। এখানেও $x < y$, কিন্তু $xy = 0.1 \times 0.5 = 0.05$, যা $1$ এর চেয়ে বড় নয়। এই ক্ষেত্রে শর্তটি পূরণ হয় না।
সুতরাং, $x < y$ সম্পর্কটি সবসময় সঠিক নয়।
অপশন 3: $x = y$
এই সম্পর্কটিও সবসময় সঠিক নাও হতে পারে। যদি $x = y$ হয়, তাহলে অসমতাটি দাঁড়ায় $x^2 > 1$।
- যদি $x > 1$ হয় (যেমন $x = y = 2$)। এখানে $x = y$ এবং $xy = 2 \times 2 = 4$, যা $1$ এর চেয়ে বড়। এই ক্ষেত্রে শর্তটি পূরণ হয়।
- কিন্তু যদি $0 < x \le 1$ হয় (যেমন $x = y = 0.5$)। এখানে $x = y$, কিন্তু $xy = 0.5 \times 0.5 = 0.25$, যা $1$ এর চেয়ে বড় নয়। এই ক্ষেত্রে শর্তটি পূরণ হয় না।
সুতরাং, $x = y$ সম্পর্কটি সবসময় সঠিক নয়।

যেহেতু প্রদত্ত কোনো নির্দিষ্ট সম্পর্ক ($x>y$, $x 1$ শর্তটিকে পূরণ করে না, তাই সঠিক উত্তরটি হলো "কোনটিই নয়"।

Satt AI

2 weeks ago

MCQ: 38 CQ: 3

Practice

বাস্তব সংখ্যা ও এর শ্রেণিবিন্যাস ( Real Numbers & Classification of Real Numbers)

সংখ্যার ইতিহাস মানব সভ্যতার ইতিহাসের মতই প্রাচীন। পরিমাণকে প্রতীক দিয়ে সংখ্যা আকারে প্রকাশ করার পদ্ধতি থেকে গণিতের উৎপত্তি। গ্রিক দার্শনিক এরিস্টটলের মতে, প্রাচীন মিশরের পুরোহিত সম্প্রদায়ের অনুশীলনের মাধ্যমে গণিতের আনুষ্ঠানিক অভিষেক ঘটে। তাই বলা যায় সংখ্যাভিত্তিক গণিতের সৃষ্টি যীশুখ্রিস্টের জন্মের প্রায় দুই হাজার বছর পূর্বে। এরপর নানা জাতি ও সভ্যতার হাত ঘুরে সংখ্যা ও সংখ্যারীতি অধুনা একটি সার্বজনীন রূপ ধারণ করেছে।
স্বাভাবিক সংখ্যার গণনার প্রয়োজনে প্রাচীন ভারতবর্ষের গণিতবিদগণ সর্বপ্রথম শূন্য ও দশভিত্তিক স্থানীয়মান পদ্ধতির প্রচলন করেন, যা সংখ্যা বর্ণনায় একটি মাইলফলক হিসেবে বিবেচিত হয়। পরে ভারতীয় ও চীনা গণিতবিদগণ শূন্য, ঋণাত্মক, বাস্তব, পূর্ণ ও ভগ্নাংশের ধারণার বিস্তৃতি ঘটান যা মধ্যযুগে আরবীয় গণিতবিদগণ ভিত্তি হিসেবে গ্রহণ করেন। দশমিক ভগ্নাংশের সাহায্যে সংখ্যা প্রকাশের কৃতিত্ব মধ্যপ্রাচ্যের মুসলিম গণিতবিদদের বলে মনে করা হয়। আবার তাঁরাই একাদশ শতাব্দীতে সর্বপ্রথম বীজগণিতীয় দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান হিসেবে বর্গমূল আকারে অমূলদ সংখ্যার প্রবর্তন করেন। ইতিহাসবিদদের ধারণা খ্রিস্টপূর্ব ৫০০ অব্দের কাছাকাছি গ্রিক দার্শনিকরাও জ্যামিতিক অঙ্কনের প্রয়োজনে অমূলদ সংখ্যা, বিশেষ করে দুই-এর বর্গমূলের প্রয়োজনীয়তা অনুভব করেছিলেন। ঊনবিংশ শতাব্দীতে ইউরোপীয় গণিতবিদগণ বাস্তব সংখ্যাকে প্রণালীবদ্ধ করে পূর্ণতা দান করেন। দৈনন্দিন প্রয়োজনে বাস্তব সংখ্যা সম্বন্ধে শিক্ষার্থীদের সুস্পষ্ট জ্ঞান থাকা প্রয়োজন। এ অধ্যায়ে বাস্তব সংখ্যা বিষয়ে সামগ্রিক আলোচনা করা হয়েছে।

বাস্তব সংখ্যার শ্রেণিবিন্যাস (Classification of Real Numbers)

বাস্তব সংখ্যা (Real Number) হলো এমন সব সংখ্যা যেগুলোকে সংখ্যা রেখায় প্রকাশ করা যায়। বাস্তব সংখ্যাকে বিভিন্ন বৈশিষ্ট্যের ভিত্তিতে কয়েকটি শ্রেণিতে ভাগ করা হয়।

বাস্তব সংখ্যার প্রকারভেদ

স্বাভাবিক সংখ্যা (Natural Number)
পূর্ণ সংখ্যা (Integer)
মূলদ সংখ্যা (Rational Number)
অমূলদ সংখ্যা (Irrational Number)
বাস্তব সংখ্যা (Real Number)

শ্রেণিবিন্যাস চিত্র

উদাহরণ

সংখ্যা	শ্রেণি
5	স্বাভাবিক সংখ্যা, পূর্ণ সংখ্যা, মূলদ সংখ্যা, বাস্তব সংখ্যা
-3	পূর্ণ সংখ্যা, মূলদ সংখ্যা, বাস্তব সংখ্যা
0	পূর্ণ সংখ্যা, মূলদ সংখ্যা, বাস্তব সংখ্যা
$\frac{1}{4}$	মূলদ সংখ্যা, বাস্তব সংখ্যা
$\sqrt{2}$	অমূলদ সংখ্যা, বাস্তব সংখ্যা
π	অমূলদ সংখ্যা, বাস্তব সংখ্যা

মনে রাখার উপায়

সকল স্বাভাবিক সংখ্যা পূর্ণ সংখ্যা
সকল পূর্ণ সংখ্যা মূলদ সংখ্যা
সকল মূলদ সংখ্যা বাস্তব সংখ্যা